Coordonnées de la somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un réel

Propriété
Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan. Soit \(k \in \mathbb{R}\).

• Le vecteur  \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} x + x^{\prime} \\ y + y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\).
• Le vecteur \(k \times \overrightarrow{u}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \\ \end{pmatrix}\).
  

Démonstration
Dans une base du plan \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) on considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\). Soit \(k \in \mathbb{R}\).

Ainsi on a \(\overrightarrow{u} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{v} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}\) .

\(\begin{array}{ccl}{\small \bullet} \; \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} & = & x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} + x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j} \\& = & \left( x + x^{\prime} \right) \times \overrightarrow{i} + \left( y + y^{\prime}\right) \times \overrightarrow{j}\end{array}\) Donc on obtient \(\boxed{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x + x^{\prime}\\ y + y^{\prime} \\ \end{pmatrix}}\) .

\(\begin{array}{ccl}{\small \bullet} \; k \times \overrightarrow{u} & = & k \times \left( x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} \right) \\& = & k \times \left( x \times \overrightarrow{i} \right) + k \times \left( y \times \overrightarrow{j} \right) \\& = & \left( k \times x \right) \times \overrightarrow{i} + \left( k \times y \right) \times \overrightarrow{j} \\\end{array}\)Donc on obtient \(\boxed{k \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \\ \end{pmatrix}}\) .

Exemples
Dans une base du plan \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\), on considère les vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2\\ 5 \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3\\ -7 \\ \end{pmatrix}\).
On veut déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\),    \(4 \times \overrightarrow{u}\) et \(-6 \times \overrightarrow{v}\).

• On a \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -2 + 3\\ 5 + (-7)\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ \end{pmatrix}\).
  
• On a \(4 \times \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4 \times (-2) \\ 4 \times 5\\ \end{pmatrix}\) soit \(4\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -8\\ 20\\ \end{pmatrix}\).
  
• On a \(-6 \times \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -6 \times 3 \\ -6 \times (-7)\\ \end{pmatrix}\) soit \(-6 \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -18 \\ 42 \\ \end{pmatrix}\).